Системы с нелинейными уравнениями. Система уравнений. Подробная теория с примерами (2019)

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Наверняка многие знают, что уравнение представляет собой некое тождество с неизвестной, которую необходимо определить, чтобы решить уравнение и получить равные значения левой и правой частей. Чтобы решить данного рода уравнения необходимо перенести в левую сторону все известные значения, а в правую все неизвестные. Решить данные уравнения можно с помощью 3 методов:

1) подстановки;

2) сложения;

3) построения графиков.

Выбор метода зависит от целевого уравнения. Решить онлайн уравнение с двумя неизвестными можно на многих сайтах, однако слепо доверять полученному результату не стоит.

Ниже приведен пример решения уравнения с 2 неизвестными методом сложения.

\[-9x + 5y = -40\]

Первое, с чего стоит начать решение - сложить каждое слагаемое с учетом их знаков:

\[-5y + 5y = 0\]

В большинстве случаев, одна из сумм, включающая в себя неизвестную будет содержать величину, равную нулю. На следующем этапе решения уравнения нам необходимо составить уравнение из полученных данных:

\[-7x + 0 = 21\]

Найти неизвестное:

\[-7x = 21, x = 21 \div (-7) = -3\]

Вставить полученное значение в любое из исходных уравнений и получить 2 неизвестное с помощью решения уравнения линейного типа:

\[-6 - 5y = 61\]

\[-5y = 61 + 6\]

Конечный результат:

Где можно решить уравнение с 2 неизвестными онлайн?

Решить уравнение с двумя неизвестными онлайн решателем можно на сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Глава 8. Системы уравнений

8.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Определение

Несколько уравнений, в которых одноименные неизвестные обозначают одну и ту же величину, называются системой уравнений .
Система вида называется нормальной формой системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Решить такую систему - значит найти множество всех общих для обоих уравнений решений.

А как же решать такую систему?

Решать такую систему можно, например, графически. Обычно такая система графически представляется двумя прямыми линиями, и общим решением этих уравнений (решением системы) будут координаты общей точки двух прямых. Здесь возожны три случая:
1) Прямые (графики) имеют только одну общую точку (пересекаются) - система уравнений имеет единственное решение и она называетсяопределенной .
2) Прямые (графики) не имеют общих точек (параллельны) - система не имеет решения и она называется несовместной .
3) Прямые (графики) имеют бесконечно много общих точек (совпадают) - система имеет бесконечное множество решений и называется неопределенной.

Что-то я пока не понимаю. Может с примерами понятнее будет?

Конечно, сейчас приведем по примеру на каждый случай и все сразу станет понятнее.

Начнем с примера, когда система определенная (имеет единственное решение). Возьмем систему . Построим графики этих функций.

Они пересекаются только в одной точке, следовательно решением этой системы являются только координаты точки: , .

Теперь приведем пример несовместной системы (той, которая не имеет решения). Рассмотрим такую систему .

В этом случае система противоречива: левые части равные, а правые части при этом различны. Графики не имеют общих точек (параллельны), следовательно система не имеет решения.

Ну теперь остался последний случай, когда система неопределенная (имеет бесконечное множество решений). Вот пример такой системы: . Построим графики этих уравнений.

Прямые (графики) имеют бесконечно много общих точек (совпадают), значит система имеет бесконечное множество решений. В этом случае уравнения системы равносильны (умножив второе уравнение на 2 , получим первое уравнение).

Наиболее важным является первый случай. Единственное решение такой системы всегда можно найти графически - иногда точно, а чаще всего приближенно с необходимой степенью точности.

Определение

Две системы уравнений называются равносильными (эквивалентными) , если все решения каждой из них являются и решениями другой (множества решений совпадают) или если обе не имеют решений.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.