Законы арифметических действий. Действия с рациональными числами: правила, примеры, решения Умножение на нуль

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

22.10.15 Классная работа

Найдите длину отрезка АВ а b А В b а В А АВ= a + b АВ= b + a

11 + 16 = 27 (фруктов) 16 + 11 = 27 (фруктов) Изменится ли общее количество фруктов от перестановки слагаемых? Маша собрала 11 яблок и 16 груш. Сколько фруктов оказалось в корзинке у Маши?

Составьте буквенное выражение для записи словесного высказывания: « от перестановки слагаемых сумма не изменится » а + b = b + a Переместительный закон сложения

(5 + 7) + 3 = 15 (игрушек) Какой способ подсчета проще? Маша наряжала елку. Она повесила 5 елочных шаров, 7 шишек и 3 звёздочки. Сколько всего игрушек повесила маша? (7 + 3) + 5 =15 (игрушек)

Составьте буквенное выражение для записи словесного высказывания: « Чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье слагаемое, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемых » (a + b)+с = a +(b+ с) Сочетательный закон сложения

Подсчитаем: 27+ 148+13 = (27+13) +148= 188 124 + 371 + 429 + 346 = = (124 + 346) + (371 + 429) = = 470 + 800 = 1270 Учимся считать быстро!

Справедливы для умножения те же законы, что и для сложения? a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с)

b=15 а =12 c=2 V = (a · b) · c = a · (b · c) V = (12 · 15) · 2= =12 · (15 · 2)=360 S = a · b= b · a S = 12 · 15 = =15 · 12 =180

a · b = b · a (a · b) · с = a · (b · с) Переместительный закон умножения Сочетательный закон умножения

Подсчитаем: 25 · 756 · 4 = (25 · 4) · 756= 75600 8 · (956 · 125) = = (8 · 125) · 956 = = 1000 · 956 = 956000 Учимся считать быстро!

ТЕМА УРОКА: С чем сегодня на уроке работаем? Сформулируйте тему урока.

212 (1 столбик), 214(а,б,в), 231, 230 В классе Домашнее задание 212 (2 столбик), 214(г,д,е), 253

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Разработка урока по математике в 5 классе "Законы арифметических действий" включает в себя текстовый файл и презентацию к уроку.На этом уроке повторяется переместительный и сочетательный законы, вводи...

Законы арифметических действий

Данная презентация полготовлена к уроку по математике в 5 классе на тему "Законы арифметических действий" (учебник И.И. Зубарева, А.Г. Мордкович)....

Урок изучения нового материала с использованием ЭОР....

Законы арифметических действий

Презентация создана для визуального сопровождения урока в 5 классе по теме "Арифметические действия с целыми числами". В ней представлена подборка задач как для общего, так и для самостоятельного реше...

разработка урока Математика 5 класс Законы арифметических действий

разработка урока Математика 5 класс Законы арифметических действий№ п/пСтруктура аннотацииСодержание аннотации1231ФИО Малясова Людмила Геннадьевна2Должность, преподаваемый предмет Учитель ма...

В дальнейшем, когда будем изучать действия над числами, изображёнными цифрами или буквами (безразлично), нам придётся во многих выводах опираться на те законы действий, которые изучались в арифметике. В силу важности этих законов они называются основными законами действий.

Напомним их.

1. Переместительный закон сложения.

Сумма не изменяется от перемены порядка слагаемых.

Этот закон уже был записан в § 1 в виде равенства:

где а и - любые числа.

Из арифметики известно, что переместительный закон верен для суммы любого числа слагаемых.

2. Сочетательный закон сложения.

Сумма нескольких слагаемых не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих слагаемых заменить их суммой.

Для суммы трёх слагаемых имеем:

Например, сумму можно вычислить двумя способами так:

Сочетательный закон справедлив для любого числа слагаемых.

Так, в сумме четырёх слагаемых рядом стоящие слагаемые можно как угодно объединять в группы и заменять эти слагаемые их суммой:

Например, мы получим то же число 16, каким бы способом ни группировали рядом стоящие слагаемые:

Переместительным и сочетательным законами часто пользуются при устных вычислениях, располагая числа так, чтобы легче было их сложить в уме.

Поменяем местами два последних слагаемых, получим:

Сложить числа в этом порядке оказалось гораздо легче.

Обычно слагаемые в новом порядке не переписывают, а производят их перемещение в уме: переставив мысленно 67 и И, сразу складывают 89 и 11 и затем прибавляют 67.

Чтобы легче было сложить эти числа в уме, изменим порядок слагаемых так:

Пользуясь сочетательным законом, заключим два последних слагаемых в скобки:

Сложение чисел в скобках произвести легко, получим:

3. Переместительный закон умножения.

Произведение не изменяется от перемены порядка сомножителей:

где - любые числа.

Из арифметики известно, что переместительный закон верен для произведения любого числа сомножителей.

4. Сочетательный закон умножения.

Произведение нескольких сомножителей не изменится, если какую-нибудь группу рядом стоящих сомножителей заменить их произведением.

Для произведения трёх сомножителей имеем:

Например, произведение трёх сомножителей 5-3-4 можно вычислить так:

Для произведения четырёх сомножителей имеем:

Например, то же число 20 получится при любой группировке рядом стоящих сомножителей:

Применение переместительного и сочетательного законов умножения часто значительно облегчает вычисления.

Умножить 25 на 37 не очень легко. Переместим два последних сомножителя:

Теперь умножение легко выполнится в уме.

Подход к сложению целых неотрицательных чисел позволяет обосновать известные законы сложения: переместительный и сочетательный.

Докажем сначала переместительный закон, т. е. докажем что для любых целых неотрицательных чисел а и b выполняется равенство a + b= b + а.

Пусть а -- число элементов в множестве А, Ь -- число элементов в множестве В и А В=0. Тогда по определению суммы целых неотрицательных чисел а + b есть число элементов объединения множеств А и В: а + Ь = п (А//В). Но множество А В равно множеству В A согласно переместительному свойству объединения множеств, и, Значит, п(АU В) = п(В U А). По определению суммы п(ВиА) = Ь + а, поэтому a+b=b+a для любых целых неотрицательных чисел а и Ь.

Докажем теперь сочетательный закон, т. е. докажем что для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с выполняется равенство (a + b)+c = a + (b + c).

Пусть а = п(А), Ь = п(В), с = п(С), причем АUВ=0, ВUС=0 Тогда по определению суммы двух чисел можно записать (а+ Ь)+ с = п(А//)В) + п(С) = п((АUВUС).

Так как объединение множеств подчиняется сочетательному закону, то n((AUB)U C) = n(A U(BUC)). Откуда по определению суммы двух чисел имеем п (А J(BUC))=n (А) + п (BU C) = a + (b + с). Следовательно, (а+ Ь)+ с -- a+(b + с) для любых целых неотрицательных чисел a, b и с.

Каково назначение сочетательного закона сложения? Он объясняет, как можно находить сумму трех слагаемых: для этого достаточно сложить первое слагаемое со вторым и к полученному числу прибавить третье слагаемое или прибавить первое слагаемое к сумме второго и третьего. Заметим, что сочетательный закон не предполагает перестановки слагаемых.

И переместительный и сочетательный законы сложения могут быть обобщены на любое число слагаемых. При этом переместительный закон будет означать, что сумма не изменяется при любой перестановке слагаемых, а сочетательный -- что сумма не изменяется при любой группировке слагаемых (без изменения их порядка).

Из переместительного и сочетательного законов сложения вытекает, что сумма нескольких слагаемых не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.

Вычислим, используя законы сложения, значение выражения 109 + 36+ 191 +64 + 27.

На основании переместительного закона переставим слагаемые 36 и 191. Тогда 109 + 36+191+64 + 27= 109+191+36 + 64 + 27.

Воспользуемся сочетательным законом, сгруппировав слагаемые, а затем найдем суммы в скобках: 109+ 191 +36 + 64 + 27 ==(109 + 191) + (36 + 64) + 27 = 300 + 100 + 27.

Применим еще раз сочетательный закон, заключив в скобки сумму чисел 300 и 100: 300+ 100 + 27 =(300+ 100) + 27.

Произведем вычисления: (300+ 100)+ 27 = 400+ 27 = 427.

С переместительным свойством сложения учащиеся начальных классов знакомятся при изучении чисел первого десятка. Сначала оно используется при составлении таблицы сложения однозначных чисел, а затем для рационализации различных вычислений.

Сочетательный закон сложения в начальном курсе математики в явном виде не изучается, но постоянно используется. Так, он является основой приема прибавления числа по частим: 3 + 2 = 3 + (1 + 1) = (3+ 1)+ 1 =4+ 1 =5. Кроме того, в тех случаях, когда надо прибавить число к сумме, сумму к числу, сумму к сумме, сочетательный закон используется в сочетании с переместительным. Например, прибавлять сумму 2+1 к числу 4 предлагается следующими способами:

1) 4 + (2+1) = 4 + 3 = 7;

4+2+ 1 = 6+1 =7;

4 + (2+1) = 5 + 2 = 7.

Проанализируем эти способы. В случае 1 вычисления выполнены в соответствии с указанным порядком действий. В случае 2 применено сочетательное свойство сложения. Вычисления же в последнем случае опираются па переместительный и сочетательный законы сложения, причем промежуточные преобразования опущены. Они таковы. Сначала на основании переместительного закона переставили местами слагаемые 1 и 2: 4+(2-1) = 4 + (1+2). Затем воспользовались сочетательным законом: 4 + (1 +2) =(4+ 1) + 2. И, наконец, произвели вычисления согласно порядку действий (4 +1)+ 2 = 5 + 2 = 7.

Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа

Обоснуем известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.

Правило вычитания числа из суммы. Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного из слагаемых суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Запишем это правило, используя символы: Если а, Ь, с -- целые неотрицательные числа, то:

а) при а>с имеем, что (а+Ь) -- с = (а -- с)+Ь;

б) при Ь>с имеем, что (a+b) -- c==a + (b -- с);

в) при а>с и Ь>с можно использовать любую из данныхформул.

Пусть а >с, тогда разность а --с существует. Обозначим ее через р: а -- с =р. Отсюда а = р+с. Подставим сумму р+-с вместо а в выражение (а+Ь) -- с и преобразуем его: (а + 6) --с = (р + c+b) -- c = p+b+-c -- c = p+b

Но буквой р обозначена разность а --с, значит, имеем (а+Ь) -- -- с = (а -- с)+Ь, что и требовалось доказать.

Аналогично проводятся рассуждения и для других случаев. Приведем теперь иллюстрацию данного правила (случай «а») при помощи кругов Эйлера. Возьмем три конечных множества А, В и С, такие, что п(А) = а, п(В) = Ь, п(С) = с и AUB=0, СUА. Тогда {a+b) -- с есть число элементов множества (AUB)C, а число (а -- с)+Ь есть число элементов множества {АС)UВ. На кругах Эйлера множество (АUВ)С изображается заштрихованной областью, представленной на рисунке.

Легко убедиться в том, что множество (АС)UВ изобразится точно такой же областью. Значит, (AUB)C = (AC)UB для данных

множеств А, В и С. Следовательно, п((АUВ)С) = п((АС)UВ)и (а + Ь)-- с -- (а -- с)+Ь.

Аналогично можно проиллюстрировать и случай «б».

Правило вычитания из числа суммы. Чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим, т. е. если а, Ъ, с -- целые неотрицательные числа, то при а>Ь+с имеем а--(Ь+с) = (а -- Ь)--с.

Обоснование этого правила и его теоретико-множественная иллюстрация выполняются так же, как и для правила вычитания числа из суммы.

Приведенные правила рассматриваются в начальной школе на конкретных примерах, для обоснования привлекаются наглядные изображения. Эти правила позволяют рационально выполнять вычисления. Например, правило вычитания из числа суммы лежит в основе приема вычитания числа по частям:

5-2 = 5-(1 + 1) = (5-1)-1=4-1=3.

Смысл приведенных правил хорошо раскрывается при решении арифметических задач различными способами. Например, задача «Утром ушли в море 20 маленьких и 8 больших рыбачьих лодок. 6 лодок вернулись. Сколько лодок с рыбаками должно еще вернуться?» может быть решена тремя способами:

/ способ. 1. 20 + 8 = 28 2. 28 -- 6 = 22

// способ. 1. 20 -- 6=14 2. 14 + 8 = 22

III способ. 1. 8 -- 6 = 2 2. 20 + 2 = 22

Законы умножения

Докажем законы умножения, исходя из определения произведения через декартово произведение множеств.

1. Переместительный закон: для любых целых неотрицательных чисел а и Ъ справедливо равенство a*b = b*a.

Пусть а = п(А), Ь = п(В). Тогда по определению произведения а*Ь = п{А*В). Но множества А*В н В*А равномощны: каждой паре (а, Ь) из множества АХВ можно поставить в соответствие единственную пару (Ь, а) из множества ВхА, и наоборот. Значит, п(АХВ) = п(ВхА), и поэтому a-b = n {AXB) = n (BXA) = b-а.

2. Сочетательный закон: для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с справедливо равенство (а* Ь) *с = а* (Ь*с).

Пусть а = п(А), b = п (В), с = п (С). Тогда по определению произведения {a-b)-c = n((AXB)XQ, a a-(b -c) = n (AX(BXQ). Множества (АхВ)ХС и А X {ВХ Q различны: первое состоит из пар вида ((а, Ь), с), а второе -- из пар вида (а, (Ь, с)), где аЈА, ЬЈВ, сЈС. Но множества (АХВ)ХС и АХ(ВХС) равномощны, так как существует взаимно однозначное отображение одного множества на другое. Поэтому п{(АХВ) *С) = п {А*(В*С)), и, значит, (а*Ь) *с = а* (Ь*с).

3. Распределительный закон умножения относительно сложения: для любых целых неотрицательных чисел а, Ь, с справедливо равенство (a +b) x c = ac+ be.

Пусть а -- п (А), Ь = п (В), с = п(С)и АUВ= 0. Тогда по определению произведения имеем (a+b) x c = n ((AUB) * C. Откуда на основании равенства (*) получаем п ((А UВ) * С) = п((А * С)U(В* С)), и далее по определению суммы и произведения п ((А * С)U(В* С)) -- = п(А*С) + п(В*С) = ас + Ьс.

4. Распределительный закон умножения относительно вычитания: для любых целых неотрицательных чисел a, b и с и a^b справедливо равенство (а -- Ь)с = = ас -- Ьс.

Этот закон выводится из равенства (АВ) *С = (А *С)(В*С) и доказывается аналогично предыдущему.

Переместительный и сочетательный законы умножения можно распространить на любое число множителей. Как и при сложении, эти законы часто используются совместно, т. е. произведение нескольких множителей не изменится, если их переставить любым способом и если любую их группу заключить в скобки.

Распределительные законы устанавливают связь умножения со сложением и вычитанием. На основе этих законов происходит раскрытие скобок в выражениях типа (а+Ь)с и (а -- Ь) с, а также вынесение множителя за скобки, если выражение имеет вид ас --be или

В начальном курсе математики изучается переместительное свойство умножения, оно формулируется так: «От перестановки множителей произведение не изменится» -- и широко используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел. Сочетательный закон в начальной школе в явном виде не рассматривается, но используется вместе с переместительный при умножении числа на произведение. Происходит это следующим образом: учащимся предлагается рассмотреть различные способы нахождения значения выражения 3* (5*2) и сравнить полученные результаты.

Приводятся случаи:

1) 3* (5*2) = 3*10 = 30;

2) 3* (5*2) = (3*5) *2 = 15*2 = 30;

3) 3* (5*2) = (3*2) *5 = 6*5 = 30.

Первый из них основан на правиле порядка действий, второй -- на сочетательном законе умножения, третий -- на переместительном и сочетательном законах умножения.

Распределительный закон умножения относительно сложения рассматривается в школе на конкретных примерах и носит название правил умножения числа на сумму и суммы на число. Рассмотрение этих двух правил диктуется методическими соображениями.

Правила деления суммы на число и числа на произведение

Познакомимся с некоторыми свойствами деления натуральных чисел. Выбор этих правил определен содержанием начального курса математики.

Правило деления суммы на число. Если числа а и Ь делятся на число с, то и их сумма а + Ь делится на с; частное, получаемое при делении суммы а+Ь на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и Ъ на с, т. е.

(а + Ь): с = а: с + b: с.

Доказательство. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число т = а:с, что а = с-т. Аналогично существует такое натуральное число п -- Ь:с, что Ь = с-п. Тогда а+Ь = = c-m + c-/2 = c-(m + n). Отсюда следует, что а+Ь делится на с и частное, получаемое при делении а+Ь на число с, равно т+п, т. е. а:с+Ь:с.

Доказанное правило можно истолковать с теоретико-множественных позиций.

Пусть а = п{А), Ь = п(В), причем АГВ=0. Если каждое из множеств А и В можно разбить на с равномощных подмножеств, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение.

При этом если в каждом подмножестве разбиения множества А содержится а:с элементов, а в каждом подмножестве множества В содержится Ь:с элементов, то в каждом подмножестве множества А[)В содержится а:с+Ь:с элементов. Это и значит, что (а + Ь): с = а: с + Ь: с.

Правило деления числа на произведение. Если натуральное число а делится на натуральные числа Ъ и с, то, чтобы разделить а на произведение чисел Ъ и с, достаточно разделить число а на b (с) и полученное частное разделить на с (Ь): а:(Ь * с) --(а: Ь): с = (а:с): Ь Доказательство. Положим (а:Ь):с = х. Тогда по определению частного а:Ь = с-х, отсюда аналогично а -- Ь-(сх). На основании сочетательного закона умножения а = (Ьс)-х. Полученное равенство означает, что а:(Ьс) = х. Таким образом, a:(bc) = (a:b):c.

Правило умножения числа на частное двух чисел. Чтобы умножить число на частное двух чисел, достаточно умножить это число на делимое и полученное произведение разделить на делитель, т. е.

a-(b:c) = (a-b):c.

Применение сформулированных правил позволяет упростить вычисления.

Например, чтобы найти значение выражения (720+ 600): 24, достаточно разделить на 24 слагаемые 720 и 600 и полученные частные сложить:

(720+ 600): 24 = 720:24 + 600:24 = 30 + 25 = 55. Значение выражения 1440:(12* 15) можно найти, разделив сначала 1440 на 12, а затем полученное частное разделить на 15:

1440: (12 * 15) = (1440:12): 15 = 120:15 = 8.

Указанные правила рассматриваются в начальном курсе математики на конкретных примерах. При первом знакомстве с правилом деления суммы 6 + 4 на число 2 привлекаются иллюстративный материал. В дальнейшем это правило используется для рационализации вычислений. Правило деления числа на произведение широко применяется при делении чисел, оканчивающихся нулями.