Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

В некоторых задачах физики непосредственную связь между величинами, описывающими процесс, установить не удается. Но существует возможность получить равенство, содержащее производные исследуемых функций. Так возникают дифференциальные уравнения и потребность их решения для нахождения неизвестной функции.

Эта статья предназначена тем, кто столкнулся с задачей решения дифференциального уравнения, в котором неизвестная функция является функцией одной переменной. Теория построена так, что с нулевым представлением о дифференциальных уравнениях, вы сможете справиться со своей задачей.

Каждому виду дифференциальных уравнений поставлен в соответствие метод решения с подробными пояснениями и решениями характерных примеров и задач. Вам остается лишь определить вид дифференциального уравнения Вашей задачи, найти подобный разобранный пример и провести аналогичные действия.

Для успешного решения дифференциальных уравнений с Вашей стороны также потребуется умение находить множества первообразных (неопределенные интегралы) различных функций. При необходимости рекомендуем обращаться к разделу .

Сначала рассмотрим виды обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, которые могут быть разрешены относительно производной, далее перейдем к ОДУ второго порядка, следом остановимся на уравнениях высших порядков и закончим системами дифференциальных уравнений.

Напомним, что , если y является функцией аргумента x .

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка вида .

Запишем несколько примеров таких ДУ .

Дифференциальные уравнения можно разрешить относительно производной, произведя деление обеих частей равенства на f(x) . В этом случае приходим к уравнению , которое будет эквивалентно исходному при f(x) ≠ 0 . Примерами таких ОДУ являются .

Если существуют значения аргумента x , при которых функции f(x) и g(x) одновременно обращаются в ноль, то появляются дополнительные решения. Дополнительными решениями уравнения при данных x являются любые функции, определенные для этих значений аргумента. В качестве примеров таких дифференциальных уравнений можно привести .

Дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

ЛОДУ с постоянными коэффициентами является очень распространенным видом дифференциальных уравнений. Их решение не представляет особой сложности. Сначала отыскиваются корни характеристического уравнения . При различных p и q возможны три случая: корни характеристического уравнения могут быть действительными и различающимися , действительными и совпадающими или комплексно сопряженными . В зависимости от значений корней характеристического уравнения, записывается общее решение дифференциального уравнения как , или , или соответственно.

Для примера рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами . Корнями его характеристического уравнения являются k 1 = -3 и k 2 = 0 . Корни действительные и различные, следовательно, общее решение ЛОДУ с постоянными коэффициентами имеет вид


Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Общее решение ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами y ищется в виде суммы общего решения соответствующего ЛОДУ и частного решения исходного неоднородного уравнения, то есть, . Нахождению общего решения однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами , посвящен предыдущий пункт. А частное решение определяется либо методом неопределенных коэффициентов при определенном виде функции f(x) , стоящей в правой части исходного уравнения, либо методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примеров ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами приведем


Разобраться в теории и ознакомиться с подробными решениями примеров мы Вам предлагаем на странице линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами .

Линейные однородные дифференциальные уравнения (ЛОДУ) и линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ) второго порядка .

Частным случаем дифференциальных уравнений этого вида являются ЛОДУ и ЛНДУ с постоянными коэффициентами.

Общее решение ЛОДУ на некотором отрезке представляется линейной комбинацией двух линейно независимых частных решений y 1 и y 2 этого уравнения, то есть, .

Главная сложность заключается именно в нахождении линейно независимых частных решений дифференциального уравнения этого типа. Обычно, частные решения выбираются из следующих систем линейно независимых функций:


Однако, далеко не всегда частные решения представляются в таком виде.

Примером ЛОДУ является .

Общее решение ЛНДУ ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение исходного дифференциального уравнения. О нахождении мы только что говорили, а можно определить, пользуясь методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ можно привести .

Дифференциальные уравнения высших порядков.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Порядок дифференциального уравнения , которое не содержит искомой функции и ее производных до k-1 порядка, может быть понижен до n-k заменой .

В этом случае , и исходное дифференциальное уравнение сведется к . После нахождения его решения p(x) останется вернуться к замене и определить неизвестную функцию y .

Например, дифференциальное уравнение после замены станет уравнением с разделяющимися переменными , и его порядок с третьего понизится до первого.

Если дифференциальное уравнение не содержит аргумента x , то есть, имеет вид , то его порядок может быть снижен на единицу заменой , где p(y(x)) будет сложной функцией. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получим

и так далее.

Подставив эти результаты в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение не единицу меньшего порядка.

К примеру, дифференциальное уравнение заменой приводится к уравнению с разделяющимися переменными .

Подробное решение подобных примеров представлено в статье дифференциальные уравнения, допускающие понижения порядка .

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами и .

Чтобы определить общее решение таких видов дифференциальных уравнений, во-первых, требуется найти корни характеристического уравнения . В этом Вам может помочь статья . Далее, отталкиваясь от значений корней характеристического уравнения, общее решение ЛОДУ записывается в стандартной форме, а общее решение неоднородного уравнения представляется суммой , где - частное решение неоднородного дифференциального уравнения. можно определить методом вариации произвольных постоянных.

В качестве примера ЛНДУ с постоянными коэффициентами приведем , ему соответствует ЛОДУ .

Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков и .

Общее решение ЛНДУ высших порядков ищется в виде , где - общее решение соответствующего ЛОДУ, а - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Представляет собой линейную комбинацию линейно независимых функций , каждая из которых является частным решением ЛОДУ, то есть, обращает равенство в тождество. Частные решения обычно подбираются из известных систем линейно независимых функций. Подобрать их далеко не всегда просто и возможно, в этом и заключается основная проблема.

Когда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения найдено, частное решение соответствующего неоднородного уравнения можно определить методом вариации произвольных постоянных.

Итак, .

Краткое описание теории приведено в статье линейные дифференциальные уравнения высших порядков .

Системы дифференциальных уравнений вида .

В разделе системы дифференциальных уравнений изложена суть их решения и разобраны примеры.

Список литературы.

• Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Полагая в (1) введения n=1, получим ОДУ первого порядка, не разрешенное относительно производной

Если (1) однозначно разрешимо относительно или, то уравнения

назовём ОДУ первого порядка, разрешенными относительно производных.

Учитывая, что, уравнения (2) и (3) можно записать в виде:

которые будем называть ОДУ первого порядка в дифференциалах.

Общий вид ОДУ первого порядка в дифференциалах будет

где функции M(x,y) и N(x,y) определены в некоторой открытой односвязной области, причем точки, в которых одновременно обращаются в нуль функции M(x,y) и N(x,y), называются особыми точками уравнения (6).

ОДУ первого порядка, разрешенные относительно производной

Рассмотрим уравнение

обыкновенный дифференциальный уравнение коши

где функция определена и непрерывна в области, причем областью в будем считать связное открытое множество, то есть: а) две любые точки этого множества G могут быть соединены ломаной, целиком принадлежащей G; б) любая точка M множества G содержится в G вместе с некоторой окрестностью точки M.

Определение 1. Решением ОДУ (2) на промежутке ПрxG называется функция удовлетворяющая условиям:

Через будем обозначать связное множество на числовой оси, которое представляет собой один из промежутков:

Пример. Дифференциальное уравнение

имеет решениями на промежутке непрерывности функции все множество первообразных

Из примера 1 следует, что ОДУ (2) может иметь бесчисленное множество решений, причем эта ситуация является общей. Для выделения конкретного решения необходимо задать дополнительные условия, выделяющие это решение из всего множества решений. Такими условиями являются начальные условия:

Числа называются начальными данными, а задача отыскания решения ОДУ (2), удовлетворяющего начальным условиям (9), называется задачей Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9).

Наряду с задачей Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9) рас-смотрим интегральное уравнение

Определение 2. Функция, определенная на промежутке, называется решением уравнения (10), если выполняются условия:

• 1) - непрерывна);

Теорема 1. Функция является решением задачи Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9) тогда и только тогда, когда она является решением интегрального уравнения (10).

Доказательство. Пусть является решением задачи Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9). Тогда выполняется условие 3) определения 1, причем Условия 1) и 2) определения 2 вытекают из условий 1) и 2) определения 1. Интегрируя тождество в 3) определения 1 в пределах от до, получаем условие 3) определения 2). Следовательно, является решением уравнения (10).

Пусть теперь является решением интегрального уравнения (10) на промежутке. В силу тождества в 3) определения 2 функция дифференцируема для и Это показывает, что для функции выполнены начальные условия (9) и условие 1) определения 1. Условие 2) определения 1 совпадает с условием 2) определения 2. Дифференцируя по x тождество в 3) определения 2, получим тождество в 3) определения 1. Отсюда следует, что функция является решением ОДУ (2) с начальными условиями (9). Теорема доказана.

Определение 3. Будем говорить, что решение задачи Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9) существует, если существует такой интервал и существует такое решение определенное на этом интервале и удовлетворяющее условию

Теорема 2. Если в уравнении (2) функция непре- рывна в области, то решение (хотя бы одно) задачи Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9) существует.

Определение 4. График решения уравнения (2) в плоскости XOY называется интегральной кривой ОДУ (2).

Рассмотрим пространство и сопоставим каждой точке из области G достаточно малый отрезок прямой с угловым коэффициентом проходящей через точку. Получившееся семейство отрезков в области G назовем полем направлений, определяемым ОДУ (2). Из определения решения и интегральной кривой ОДУ (2) следует, что кривая, лежащая в области G , тогда и только тогда является интегральной кривой этого уравнения, когда она гладкая и касательная в каждой её точке совпадает с направлением поля в этой точке. Отсюда получаем приближен-ный метод построения интегральных кривых ОДУ (2) в области G. Для удобства этого построения находят множество точек в области G с одинаковым наклоном поля.

Определение 5. Изоклиной ОДУ (2) в области G называется кривая, во всех точках которой направление поля, определяемого ОДУ (2), одинаково.

Из этого определения следует, что множество изоклин ОДУ (2) задается уравнением где С принимает допустимые вещественные значения. Построив сетку изоклин, мы можем приближенно построить интегральные кривые уравнения (2) в области G. Заметим еще, что изоклины и называются соответственно изоклинами нуля и бесконечности, то есть в точках первой направление поля параллельно оси OX, а в точках второй параллельно оси OY.

Пример. Приближенно построить интегральную кривую уравнения, проходящую через начало координат. Изоклинами этого уравнения будут окружности Полагая, получим окружности с направлением поля Используя эту сетку изоклин строим приближенно интегральную кривую. Заметим, что решения данного уравнения в виде интегралов найти невозможно, поэтому метод изоклин наиболее целесообразен.

Как видно из формулировки теоремы Пеано, она решает локальную задачу существования решения ОДУ (2), проходящего через точку Что же будет за пределами интервала? Для решения этого вопроса введем понятие продолжения решений ОДУ (2).

Определение 6. Будем говорить, что решение ОДУ (2), определенное на промежутке ПрxG продолжимо вправо (влево), если существует решение этого уравнения, определенное на промежутке ПрxG, (ПрxG,), сужение которого на совпадает с Решение ОДУ (2) называется в этом случае продолжением решения вправо (влево).

Теорема 3. Если решение ОДУ (2) определено на промежутке то оно продолжимо вправо (влево).

Доказательство. Покажем продолжимость вправо. Поставим задачу Коши для ОДУ (2) с начальными данными По теореме Пеано существует такой интервал ПрxG, в котором существует решение удовлетворяющее начальному условию Положим

Легко проверить, что является решением ОДУ (2) на промежутке а это означает, что решение, согласно определения 6, будет продолжимо вправо. Аналогично доказывается продолжимость влево. Теорема доказана.

Определение 7. Решение ОДУ (2) называется полным, если оно не продолжимо ни вправо, ни влево.

Из определения 7 и теоремы 3 следует, что областью определения полного решения всегда является открытый интервал ПрxG, называемый максимальным интервалом существования решения ОДУ (2).

Обратимся опять к теореме Пеано и заметим, что она утверждает существование хотя бы одного, а не обязательно единственного, решения задачи Коши для ОДУ (2) с начальными условиями (9). Отсюда следует необходимость введения понятий точки и области единственности ОДУ (2).

Определение 8. Точка называется точкой единственности ОДУ (2), если существует такая -окрестность этой точки, что внутри через точку проходит одна и только одна интегральная кривая ОДУ (2).

Область, сплошь состоящую из точек единственности ОДУ (2), назовем областью единственности уравнения (2). Отсюда следует, что два любых решения ОДУ (2) из области D, совпадающие в некоторой точке, совпадают всюду в области D.

Определение 9. Точка называется точкой неединственности ОДУ (2), если в любой окрестности этой точки через неё проходит более одной интегральной кривой ОДУ (2).

Определение 10. Решение ОДУ (2) называется частным, если каждая точка, соответствующей этому решению интегральной кривой, является точкой единственности ОДУ (2).

Вся совокупность частных решений ОДУ (2) в области D называется общим решением уравнения (2) в этой области.

Определение 11. Функция где - произвольная постоянная, называется общим решением ОДУ (2) в области единственности D, если:

1) для любой точки уравнение однозначно разрешимо относительно С, то есть

2) функция является решением задачи Коши для ОДУ (2) с начальными данными

В общем случае, интегрируя ОДУ (2) в области, мы получим общее решение в неявном виде:

Определение 12. Общее решение ОДУ (2), записанное в форме (11) или (12), называется общим интегралом, а функция - интегралом ОДУ (2) в области D.

Основными свойствами интеграла ОДУ (2) являются:

• 1) интеграл сохраняет постоянное значение вдоль всякой интегральной кривой уравнения (2), расположенной в области D;
• 2) для всех имеет место тождество

Пример. Для уравнения функция является интегралом, а функция, где С- произвольная постоянная, общим решением в области.Самим проверить выполнимость свойств 1) и 2) интеграла в данном случае.

Теорема 4 (Коши-Пикара). Если функция непрерывна вместе со своей частной производной в области то существует, и при- том единственное, решение задачи Коши ОДУ (2) с начальными условиями, то есть существует единственная интегральная кривая уравнения (2), целиком принадлежащая области D, проходящая через точку

Определение 13. Решение ОДУ (2) называется особым, если каждая точка, соответствующей этому решению интегральной кривой, является точкой неединственности ОДУ (2). Интегральная кривая, соответствующая особому решению называется особой интегральной кривой ОДУ (2).

Из определений области единственности и особого решения следует, что особые решения могут быть лишь границей области D. Из теоремы Коши-Пикара следует, что в каждой точке особой интегральной кривой нарушается хотя бы одно из условий этой теоремы.

Пример. Уравнение имеет общее решение в областях и плоскости. При этом функция также является решением данного уравнения, однако она не получается из общего решения ни при каком значении произвольной постоянной С. Так как в точках интегральной кривой производная не существует, то - особая интегральная кривая.

Построить эскиз расположения интегральных кривых на плоскости XOY и указать точки единственности и неединственности.

Рассмотрим однопараметрическое (C - параметр) семейство

гладких кривых сплошь заполняющих область и предположим, что функция дифференцируема по переменным x и y в этой области.

Поставим следующую задачу: cоставить ОДУ первого порядка в области D, для которого каждая кривая данного семейства будет интегральной кривой. Очевидно, что для решения поставленной задачи достаточно исключить параметр C из системы уравнений

Пример. Пусть заданы семейства гладких кривых и где С - параметр. Построим соответствующие ОДУ первого порядка, исключая параметр С из систем

Получим соответственно ОДУ и

Интегрирование простейших ОДУ первого порядка, разрешенных относительно производной

Определение 14. Если общие решения уравнений (2)-(6) удается найти в виде конечной комбинации операций интегрирования, то будем говорить, что решение найдено в квадратурах.

Заметим, что в некоторых случаях левая часть уравнения

является полным дифференциалом некоторой функции то есть

Тогда общим интегралом ОДУ (6) будет соотношение

где С - произвольная постоянная.

Если же при умножении обеих частей ОДУ (6) на некоторую функцию, непрерывную в области G непрерывности функций и левая часть полученного уравнения

обращается в полный дифференциал от некоторой функции, то соотношение

где С - произвольная постоянная, является общим интегралом ОДУ (6).

Уравнения с разделяющимися переменными

Общий вид ОДУ первого порядка с разделяющимися переменными

где функции и - непрерывны в промежутке а функции и - непрерывны в промежутке

Рассмотрим область. В этой области, кроме особых точек, в которых одновременно обращаютя в нуль функции и, уравнение (19) имеет в общем случае два вида решений:

1) , если и, (20)

если и (21)

2) рассмотрим область, в которой. Уравнение (19) в области D эквивалентно уравнению

левая часть которого является полным дифференциалом функции

Тогда общим интегралом ОДУ (19) в области D будет соотношение

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, все множество решений ОДУ (19) состоит из решений (20), (21) и (24). Заметим, что среди решений (20) и (21) могут быть особые, причем интегральная прямая, будет особой интегральной прямой ОДУ (19), если и один из интегралов

где достаточно мало, является сходящимся. Аналогично, интегральная прямая будет особой интегральной прямой ОДУ (19), если и один из интегралов

является сходящимся.

Другой метод нахождения особых решений для ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной, связан с нарушением условий теоремы Коши-Пикара в точках исследуемых решений.

Укажем ещё один способ распознавания особых решений для ОДУ (19). Если решения (20) и (21) не получаются из (24) ни при каких частных числовых значениях С, то они являются особыми решениями ОДУ (19).

Решение задачи Коши для ОДУ (19) с начальными данными имеет вид:

Пример. Всё множество решений уравнения состоит из прямой и совокупности кривых, где С - произвольная постоянная. При решении вопроса будет ли интегральная прямая особой интегральной прямой обратимся к теореме Коши-Пикара. Так как функция и её производная непрерывны в области то прямая не является особой интегральной прямой.

Однородные ОДУ первого порядка

Уравнение

называется однородным, если функции и являются однородными функциями по переменным x и y одного и того же порядка, то есть

Подстановкой уравнение (6) приводится к уравнению с разделяющимися переменными

Функции, где корни уравнения

являются решениями уравнения (6), причем среди них могут содержаться особые. Особыми могут быть полуоси оси:

Заметим, что точка (0,0) является особой для ОДУ (6).

Уравнение

всегда приводится к однородному уравнению или к уравнению с разделяющимися переменными, причем:

a) если то ОДУ (31) - однородное;

б) если или и, то после линейной подстановки получим уравнение с разделяющимися переменными;

в) если или и то система уравнений

имеет единственное решение Заменой ОДУ (31) приводится к однородному уравнению

Если уравнение (6) не является однородным, но после замены где обращается в уравнение

где функции и - однородные, то ОДУ (6) называется в этом случае обобщенным однородным уравнением.

Пример. Уравнение является обобщенным однородным уравнением, так как после замены оно обращается в уравнение

которое при будет однородным уравнением.

Линейные ОДУ первого порядка

Общий вид линейного ОДУ первого порядка

где функции - непрерывны на интервале и

Разделим обе части уравнения (32) на функцию и получим эквивалентное уравнение

где также непрерывны на

Умножая обе части ОДУ (33) на функцию получаем ОДУ

интегрируя которое получаем общий интеграл

и общее решение

где С - произвольная постоянная.

Разрешая ОДУ (33) относительно производной и применяя теорему Коши-Пикара получаем, что уравнение (33) не имеет особых решений.

Пример. Линейное уравнение

после умножения обеих частей на функцию преобразуется в уравнение

Отсюда получаем общее решение ОДУ (37)

где С - произвольная постоянная.

Некоторые ОДУ первого порядка становятся линейными, если x считать искомой функцией, а y - аргументом, то есть

где - непрерывные функции на интервале

Пример. Уравнение Я.Бернулли подстановкой преобразуется в линейное, общее решение которого имеет вид. Отсюда и из подстановки получаем общее решение искомого уравнения где С- произвольная постоянная.

Уравнение Я.Риккати

где - непрерывные в интервале функции, в общем случае не решается в квадратурах. Однако, если известно хотя бы одно его частное решение то заменой оно приводится к уравнению Я.Бернулли.

ОДУ первого порядка в полных дифференциалах

Определение 15. ОДУ первого порядка

где функции - непрерывны в области а левая часть есть полный дифференциал некоторой дифференцируемой функции назовем ОДУ в полных дифференциалах. Общий интеграл этого уравнения задается соотношением

Поставим следующие вопросы: 1. Каким образом по виду уравнения (6) можно определить, является ли оно уравнением в полных дифференциалах? 2. Как найти функцию?

Ответы на эти вопросы дает следующая

Теорема 5. Уравнение (6), где - непрерывны в области тогда и только тогда будет ОДУ в полных дифференциалах, если для всех имеет место равенство

Доказательство. Докажем первую часть теоремы. Пусть левая часть уравнения (6) является в области полным дифференциалом функции то есть имеет место тождество

Из тождества (45), в силу произвольности и, получаем тождества

дифференцируя которые соответственно по y и по x, получим

В силу непрерывности функций в области, из теоремы о равенстве смешанных производных получаем равенство (44).

Докажем вторую часть теоремы. Пусть в области выполняется равенство (44). Требуется показать, что существует такая функция полный дифференциал которой в области тождественно равен левой части уравнения (6), то есть имеют место тождества (46). Всё множество функций, удовлетворяющих первому тождеству в (46), дается формулой

где - произвольная дифференцируемая функция от y. Покажем, что можно выбрать так, чтобы выполнялось и второе тождество в (46), т.е.

Подставляя (48) в (49), получим

Отсюда следует, что можно найти, если правая часть в (50) не зависит от переменной x, то есть

Преобразуя левую часть в (51), получим

(по условию (44) теоремы (5)) = 0.

Таким образом, функция с точностью до произвольной постоянной, имеет вид

Теорема доказана.

Замечание. Из доказательства второй части теоремы 5 следует практический прием решения ОДУ в полных дифференциалах.

Пример. Уравнение является ОДУ в полных дифференциалах, так как в области Здесь По формуле (52) находим функцию

где - произвольная постоянная. Таким образом, общий интеграл искомого уравнения будет где - произвольная постоянная.

Теорема 6. Решение задачи Коши для ОДУ(6) в полных дифференциалах с начальными условиями где область D является областью непрерывности функций и в которой даётся одной из формул:

причем это решение единственно.

Заметим, что в точках, где одновременно обращаются в нуль функции и и называемых особыми для ОДУ (6), не гарантируется единственность решения задачи Коши.

Интегрирующий множитель

Рассмотрим уравнение (6) с непрерывными в области функциями, не являющееся уравнением в полных дифференциалах.

Определение 16. Если при умножении обеих частей ОДУ (6) на функцию, непрерывную вместе со своими частными производными и отличную от нуля в области, уравнение (6) обращается в ОДУ в полных дифференциалах, то есть для всех выполняется равенство

то функцию назовем интегрирующим множителем ОДУ (6), а уравнение (55) - уравнением интегрирующего множителя.

Заметим, что решить уравнение (55) не легче, чем уравнение (6), поэтому рассмотрим случаи, когда интегрирующий множитель находится достаточно легко:

1) пусть, тогда уравнение (55) принимает вид

Если правая часть в (56) зависит только от x, то есть

то из (56) интегрированием находим с точностью до мультипликативной постоянной

где - произвольная постоянная (обычно полагают).

2) пусть, то из (55) получаем

Если правая часть в (58) является функцией одного только y, то есть

то интегрируя (58) получаем

где - произвольная постоянная (для удобства обычно считают)

3) пусть, где - известная функция, непрерывная вместе со своими частными производными в области, тогда из (55) получаем

Если правая часть в (60) есть функция то

где - произвольная постоянная.

Выясним вопрос существования интегрирующего множителя в общем случае. Справедлива

Теорема 7. Если ОДУ (6) имеет в области единственности общий интеграл

где функция непрерывна в области вместе со своими частными производными до второго порядка включительно, то уравнение (6) имеет интегрирующий множитель.

Доказательство. Так как (62) суть общий интеграл ОДУ (6), то для всех справедливо тождество

Предположим, что в области тогда из (63) получаем интегрирующий множитель в виде

Действительно, умножая обе части ОДУ (6) на функцию (64), получим

то есть функция (64) является интегрирующим множителем ОДУ (6). Теорема доказана.

Следствие. Из теоремы 7 следует, что каждому интегрирующему множителю ОДУ (6) соответствует, с точностью до аддитивной постоянной, интеграл этого уравнения.

Из уравнения интегрирующего множителя (55) видно, что интегрирующих множителей бесчисленное множество, если есть хотя бы один), отличный от тождественной постоянной, например, где постоянное число Исчерпывается ли этой совокупностью все множество интегрирующих множителей уравнения (6) ? Как найти все множество интегрирующих множителей, если известен хотя бы один? Ответы на эти вопросы дают следующие теоремы.

Теорема 8. Если - интегрирующий множитель ОДУ (6), а - соответствующий ему первый интеграл этого уравнения, то функция

где - произвольная дифференцируемая функция, тоже будет интегрирующим множителем уравнения (6).

Доказательство. Умножим левую часть ОДУ (6) на функцию (65)

Отсюда и из определения 16 следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

Теорема 9. Если - интегрирующий множитель ОДУ (6), а - соответствующий интеграл уравнения (6), то всякий интегрирующий множитель этого уравнения находится по формуле

где - произвольная дифференцируемая функция.

Доказательство. Пусть - какой-нибудь интегрирующий множитель ОДУ (6), а - соответствующий ему интеграл. Тогда имеем равенства

из которых получаем

Поделим почленно равенства первой строки на соответствующие равенства второй строки, получим

Таким образом, якобиан функций и тождественно равен нулю. Отсюда, согласно теореме из анализа о зависимости функций, между этими функциями существует функциональная зависимость

где - дважды непрерывно дифференцируемая функция. Поделим почленно второе равенство в (67) на первое, получим

Дифференцируя (68) и подставляя в (69), будем иметь

что и требовалось доказать.

Следствие. Если и - два различных интегрирующих множителя ОДУ (6), отношение которых не равно тождественно постоянной, то выражение

где - произвольная постоянная, является общим интегралом ОДУ (6).

Пример. Функцииявляются интегрирующими множителями уравнения, причем их отношение не равно тождественно постоянной. Таким образом, выражение

где - произвольная постоянная, является общим интегралом данного уравнения.

Доказательство теоремы Коши-Пикара о существовании и единственности решения задачи Коши для ОДУ первого порядка, разрешенного относительно производной

Рассмотрим уравнение

где функция - непрерывна в некоторой односвязной открытой области, и поставим для него задачу Коши с начальными условиями

Теорема 10 (Коши-Пикара). Если функция - непрерывна в прямоугольнике

вместе со своей частной производной, то существует такое:

Кафедра физхимии ЮФУ (РГУ)
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Материалы к лекционному курсу
Лектор – ст. преп. Щербаков И.Н.

РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Постановка задачи

При решении научных и инженерно-технических задач часто бывает необходимо математически описать какую-либо динамическую систему. Лучше всего это делать в виде дифференциальных уравнений (ДУ ) или системы дифференциальных уравнений. Наиболее часто они такая задача возникает при решении проблем, связанных с моделированием кинетики химических реакций и различных явлений переноса (тепла, массы, импульса) – теплообмена, перемешивания, сушки, адсорбции, при описании движения макро- и микрочастиц.

Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) n-го порядка называется следующее уравнение, которое содержит одну или несколько производных от искомой функции y(x):

Здесь y (n) обозначает производную порядка n некоторой функции y(x), x – это независимая переменная.

В ряде случаев дифференциальное уравнение можно преобразовать к виду, в котором старшая производная выражена в явном виде. Такая форма записи называется уравнением, разрешенным относительно старшей производной (при этом в правой части уравнения старшая производная отсутствует):

Именно такая форма записи принята в качестве стандартной при рассмотрении численных методов решения ОДУ.

Линейным дифференциальным уравнением называется уравнение, линейное относительно функции y(x) и всех ее производных.

Например, ниже приведены линейные ОДУ первого и второго порядков

Решением обыкновенного дифференциального уравнения называется такая функция y(x), которая при любых х удовлетворяет этому уравнению в определенном конечном или бесконечном интервале. Процесс решения дифференциального уравнения называют интегрированием дифференциального уравнения .

Общее решение ОДУ n -го порядка содержит n произвольных констант C 1 , C 2 , …, C n

Это очевидно следует из того, что неопределенный интеграл равен первообразной подынтегрального выражения плюс константа интегрирования

Так как для решения ДУ n -го порядка необходимо провести n интегрирований, то в общем решении появляется n констант интегрирования.

Частное решение ОДУ получается из общего, если константам интегрирования придать некоторые значения, определив некоторые дополнительные условия, количество которых позволяет вычислить все неопределенные константы интегрирования.

Точное (аналитическое) решение (общее или частное) дифференциального уравнения подразумевает получение искомого решения (функции y(x)) в виде выражения от элементарных функций. Это возможно далеко не всегда даже для уравнений первого порядка.

Численное решение ДУ (частное) заключается в вычислении функции y(x) и ее производных в некоторых заданных точках , лежащих на определенном отрезке. То есть, фактически, решение ДУ n -го порядка вида получается в виде следующей таблицы чисел (столбец значений старшей производной вычисляется подстановкой значений в уравнение):

Например, для дифференциального уравнения первого порядка таблица решения будет представлять собой два столбца – x и y .

Множество значений абсцисс в которых определяется значение функции, называют сеткой , на которой определена функция y(x) . Сами координаты при этом называют узлами сетки . Чаще всего, для удобства, используются равномерные сетки , в которых разница между соседними узлами постоянна и называется шагом сетки или шагом интегрирования дифференциального уравнения

Или , i = 1, …, N

Для определения частного решения необходимо задать дополнительные условия, которые позволят вычислить константы интегрирования. Причем таких условий должно быть ровно n . Для уравнений первого порядка – одно, для второго - 2 и т.д. В зависимости от способа их задания при решении дифференциальных уравнений существуют три типа задач:

· Задача Коши (начальная задача): Необходимо найти такое частное решение дифференциального уравнения, которое удовлетворяет определенным начальными условиям, заданным в одной точке :

то есть, задано определенное значение независимой переменной (х 0) , и значение функции и всех ее производных вплоть до порядка (n-1) в этой точке. Эта точка (х 0) называется начальной . Например, если решается ДУ 1-го порядка, то начальные условия выражаются в виде пары чисел (x 0 , y 0)

Такого рода задача встречается при решении ОДУ , которые описывают, например, кинетику химических реакций. В этом случае известны концентрации веществ в начальный момент времени (t = 0 ) , и необходимо найти концентрации веществ через некоторый промежуток времени (t ) . В качестве примера можно так же привести задачу о теплопереносе или массопереносе (диффузии), уравнение движения материальной точки под действием сил и т.д.

· Краевая задача . В этом случае известны значения функции и (или) ее производных в более чем одной точке, например, в начальный и конечный момент времени, и необходимо найти частное решение дифференциального уравнения между этими точками. Сами дополнительные условия в этом случае называются краевыми (граничными ) условиями. Естественно, что краевая задача может решаться для ОДУ не ниже 2-го порядка. Ниже приведен пример ОДУ второго порядка с граничными условиями (заданы значения функции в двух различных точках):

· Задача Штурма-Лиувиля (задача на собственные значения). Задачи этого типа похожи на краевую задачу. При их решении необходимо найти, при каких значениях какого-либо параметра решение ДУ удовлетворяет краевым условиям (собственные значения) и функции, которые являются решением ДУ при каждом значении параметра (собственные функции). Например, многие задачи квантовой механики являются задачами на собственные значения.

Численные методы решения задачи Коши ОДУ первого порядка

Рассмотрим некоторые численные методы решения задачи Коши (начальной задачи) обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Запишем данное уравнение в общем виде, разрешенном относительно производной (правая часть уравнения не зависит от первой производной):

(6.2)

Необходимо найти значения функции y в заданных точках сетки , если известны начальные значения , где есть значение функции y(x) в начальной точке x 0 .

Преобразуем уравнение умножением на d x

И проинтегрируем левую и правую части между i -ым и i+ 1-ым узлами сетки.

(6.3)

Мы получили выражение для построения решения в i+1 узле интегрирования через значения x и y в i -ом узле сетки. Сложность, однако, заключается в том, что интеграл в правой части есть интеграл от неявно заданной функции, нахождение которого в аналитическом виде в общем случае невозможно. Численные методы решения ОДУ различным способом аппроксимируют (приближают) значение этого интеграла для построения формул численного интегрирования ОДУ.

Из множества разработанных для решения ОДУ первого порядка методов рассмотрим методы , и . Они достаточно просты и дают начальное представление о подходах к решению данной задачи в рамках численного решения .

Метод Эйлера

Исторически первым и наиболее простым способом численного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка является метод Эйлера. В его основе лежит аппроксимация производной отношением конечных приращений зависимой (y ) и независимой (x ) переменных между узлами равномерной сетки:

где y i+1 это искомое значение функции в точке x i+1 .

Если теперь преобразовать это уравнение, и учесть равномерность сетки интегрирования, то получится итерационная формула, по которой можно вычислить y i+1 , если известно y i в точке х i :

Сравнивая формулу Эйлера с общим выражением, полученным ранее, видно, что для приближенного вычисления интеграла в в методе Эйлера используется простейшая формула интегрирования - формула прямоугольников по левому краю отрезка.

Графическая интерпретация метода Эйлера также не представляет затруднений (см. рисунок ниже). Действительно, исходя из вида решаемого уравнения () следует, что значение есть значение производной функции y(x) в точке x=x i - , и, таким образом, равно тангенсу угла наклона каcательной, проведенной к графику функции y(x) в точке x=x i .

Из прямоугольного треугольника на рисунке можно найти

откуда и получается формула Эйлера. Таким образом, суть метода Эйлера заключается в замене функции y(x) на отрезке интегрирования прямой линией, касательной к графику в точке x=x i . Если искомая функция сильно отличается от линейной на отрезке интегрирования, то погрешность вычисления будет значительной. Ошибка метода Эйлера прямо пропорциональна шагу интегрирования:

Ошибка ~ h

Процесс вычислений строится следующим образом. При заданных начальных условиях x 0 и y 0 можно вычислить

Таким образом, строится таблица значений функции y(x) с определенным шагом (h ) по x на отрезке . Ошибка в определении значения y(x i) при этом будет тем меньше, чем меньше выбрана длина шага h (что определяется точностью формулы интегрирования).

При больших h метод Эйлера весьма неточен. Он дает все более точное приближение при уменьшении шага интегрирования. Если отрезок слишком велик, то каждый участок разбивается на N отрезков интегрирования и к каждому их них применяется формула Эйлера с шагом , то есть шаг интегрирования h берется меньше шага сетки, на которой определяется решение.

Пример:

Используя метод Эйлера, построить приближенное решение для следующей задачи Коши:

На сетке с шагом 0,1 в интервале (6.5)

Решение:

Данное уравнение уже записано в стандартном виде, резрешенном относительно производной искомой функции.

Поэтому, для решаемого уравнения имеем

Примем шаг интегрирования равным шагу сетки h = 0,1. При этом для каждого узла сетки будет вычислено только одно значение (N=1 ). Для первых четырех узлов сетки вычисления будут следующими:

Полные результаты (с точностью до пятого знака после запятой) приведены в в третьей колонке - h =0,1 (N =1). Во второй колонке таблицы для сравнения приведены значения, вычисленные по аналитическому решению данного уравнения .

Во второй части таблицы приведена относительная погрешность полученных решений. Видно, что при h =0,1 погрешность весьма велика, достигая 100% для первого узла x =0,1.

Таблица 1 Решение уравнения методом Эйлера (для колонок указан шаг интегрирования и число отрезков интегрирования N между узлами сетки)

x	Точное решение	0,1	0,05	0,025	0,00625	0,0015625	0,0007813	0,0001953
		1	2	4	16	64	128	512
0	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000
0,1	0,004837	0,000000	0,002500	0,003688	0,004554	0,004767	0,004802	0,004829
0,2	0,018731	0,010000	0,014506	0,016652	0,018217	0,018603	0,018667	0,018715
0,3	0,040818	0,029000	0,035092	0,037998	0,040121	0,040644	0,040731	0,040797
0,4	0,070320	0,056100	0,063420	0,066920	0,069479	0,070110	0,070215	0,070294
0,5	0,106531	0,090490	0,098737	0,102688	0,105580	0,106294	0,106412	0,106501
0,6	0,148812	0,131441	0,140360	0,144642	0,147779	0,148554	0,148683	0,148779
0,7	0,196585	0,178297	0,187675	0,192186	0,195496	0,196314	0,196449	0,196551
0,8	0,249329	0,230467	0,240127	0,244783	0,248202	0,249048	0,249188	0,249294
0,9	0,306570	0,287420	0,297214	0,301945	0,305423	0,306284	0,306427	0,306534
1	0,367879	0,348678	0,358486	0,363232	0,366727	0,367592	0,367736	0,367844
Относительные погрешности вычисленных значений функции при различных h
x	h	0,1	0,05	0,025	0,00625	0,0015625	0,0007813	0,0001953
	N	1	2	4	16	64	128	512
0,1		100,00%	48,32%	23,76%	5,87%	1,46%	0,73%	0,18%
0,2		46,61%	22,55%	11,10%	2,74%	0,68%	0,34%	0,09%
0,3		28,95%	14,03%	6,91%	1,71%	0,43%	0,21%	0,05%
0,4		20,22%	9,81%	4,83%	1,20%	0,30%	0,15%	0,04%
0,5		15,06%	7,32%	3,61%	0,89%	0,22%	0,11%	0,03%
0,6		11,67%	5,68%	2,80%	0,69%	0,17%	0,09%	0,02%
0,7		9,30%	4,53%	2,24%	0,55%	0,14%	0,07%	0,02%
0,8		7,57%	3,69%	1,82%	0,45%	0,11%	0,06%	0,01%
0,9		6,25%	3,05%	1,51%	0,37%	0,09%	0,05%	0,01%
1		5,22%	2,55%	1,26%	0,31%	0,08%	0,04%	0,01%

Уменьшим шаг интегрирования вдвое, h = 0.05, в этом случае для каждого узла сетки вычисление будет проводиться за два шага (N =2). Так, для первого узла x =0,1 получим:

(6.6)

Данная формула оказывается неявной относительно y i+1 (это значение есть и в левой и в правой части выражения), то есть является уравением относительно y i+1 , решать которое можно, например, численно, применяя какой-либо итерационный метод (в таком виде его можно рассматривать как итерационную формула метода простой итерации). Однако, можно поступить иначи и приблизительно вычислить значение функции в узле i+1 с помощью обычной формулы :

,

которое затем использовать при вычислении по (6.6).

Таким образом получается метод Гюна или метод Эйлера с пересчетом. Для каждого узла интегрирования производится следующая цепочка вычислений

(6.7)

Благодаря более точной формуле интегрирования, погрешность метода Гюна пропорциональна уже квадрату шага интегрирования.

Ошибка ~ h 2

Подход, использованный в методе Гюна, используется для построения так называемых методов прогноза и коррекции , которые будут рассмотрены позже.

Пример:

Проведем вычисления для уравения () с помощью метода Гюна.

При шаге интегрирования h =0,1 в первом узле сетки x 1 получим:

Что намного точнее значения, полученного методом Эйлера при том же шаге интегрирования. В таблице 2 ниже приведены сравнительные результаты вычислений при h = 0,1 методов Эйлера и Гюна.

Таблица 2 Решение уравнения методами Эйлера и Гюна

x	Точное	Метод Гюна		Метод Эйлера
		y	отн. погрешность	y	отн. погрешность
0	0,000000	0,00000		0,00000
0,1	0,004837	0,00500	3,36%	0,00000	100,00%
0,2	0,018731	0,01903	1,57%	0,01000	46,61%
0,3	0,040818	0,04122	0,98%	0,02900	28,95%
0,4	0,070320	0,07080	0,69%	0,05610	20,22%
0,5	0,106531	0,10708	0,51%	0,09049	15,06%
0,6	0,148812	0,14940	0,40%	0,13144	11,67%
0,7	0,196585	0,19721	0,32%	0,17830	9,30%
0,8	0,249329	0,24998	0,26%	0,23047	7,57%
0,9	0,306570	0,30723	0,21%	0,28742	6,25%
1	0,367879	0,36854	0,18%	0,34868	5,22%

Отметим существенное увеличение точности вычислений метода Гюна по сравнению с методом Эйлера. Так, для узла x =0,1 относительное отклонение значения функции, определенного методом Гюна, оказывается в 30 (!) раз меньше. Такая же точность вычислений по формуле Эйлера достигается при числе отрезков интегрирования N примерно 30. Следовательно, при использовании метода Гюна при одинаковой точности вычислений понадобится примерно в 15 раз меньше времени ЭВМ, чем при использовании метода Эйлера.

Проверка устойчивости решения

Решение ОДУ в некоторой точке x i называется устойчивым, если найденное в этой точке значение функции y i мало изменяется при уменьшении шага интегрирования. Для проверки устойчивости, таким образом, надо провести два расчета значения (y i ) – с шагом интегрирования h и при уменьшенной (например, двое) величине шага

В качестве критерия устойчивости можно использовать малость относительного изменения полученного решения при уменьшении шага интегрирования (ε – наперед заданная малая величина)

Такая проверка может осуществляться и для всех решений на всем интервале значений x . Если условие не выполняется, то шаг снова делится пополам и находится новое решение и т.д. до получения устойчивого решения.

Методы Рунге-Кутты

Дальнейшее улучшение точности решения ОДУ первого порядка возможно за счет увеличения точности приближенного вычисления интеграла в выражении .

Мы уже видели, какое преимущество дает переход от интегрирования по формуле прямоугольников () к использованию формулы трапеций () при аппроксимации этого интеграла.

Воспользовавшись хорошо зарекомендовавшей себя формулой Симпсона , можно получить еще более точную формулу для решения задачи Коши для ОДУ первого порядка - широко используемого в вычислительной практике метода Рунге-Кутты.

Достоинством многошаговых методов Адамса при решении ОДУ заключается в том, что в каждом узле рассчитывается только одно значение правой части ОДУ - функции F(x,y ). К недостаткам можно отнести невозможность старта многошагового метода из единственной начальной точки, так как для вычислений по k -шаговой формуле необходимо знание значения функции в k узлах. Поэтому приходится (k-1) решение в первых узлах x 1 , x 2 , …, x k-1 получать с помощью какого-либо одношагового метода, например метода

Методичка MATLAB 2

1. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

1.1. Решатели (solver) ОДУ в MATLAB

1.2. Решение ОДУ первого порядка

1.3. Решение ОДУ n -го порядка

1.4. Решение систем ОДУ

2. Динамические системы (ДС)

2.1. Виды ДС

2.2. Фазовое пространство ДС

2.3. Кинематическая интерпретация системы ДУ

2.4. Эволюция ДС

2.5. Уравнения маятника

2.6. Пример решения системы ОДУ Ван-дер-Поля

3. Качественный анализ линейных ДС

3.1. Особые точки линейных ДУ

3.2. Фазовый портрет линейных ДС

4. Качественный анализ нелинейных ДС

4.1. Логистическое отображение

4.2. Особые точки нелинейных ДУ, бифуркация

4.3. Фазовый портрет нелинейных ДС

5. Уравнение ван-дер-Поля

6. Аттрактор Лоренца

7. Отображение Енона

Лабораторная работа № 1

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов представления о применении ДУ в различных областях; привить умения решать задачу Коши для ДУ у¢ = f (x , y ) на отрезке [a , b ] при заданном начальном условии у 0 = f (x 0).

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Решатели (solver) ОДУ в MATLAB

Анализ поведения многих систем и устройств в динамике, а также решение многих задач в теории колебаний обычно базируется на решении систем ОДУ. Их, как правило, представляют в виде системы из дифференциальных уравнений (ДУ) первого порядка в форме Коши:

Уравнения (1.2) аналитически к форме (1.1) обычно привести не удается. Однако численное решение особых трудностей не вызывает достаточно для определения f (y , t ) решить (1.2) численно относительно производной при заданных y и t .

Решатели ОДУ

Для решения систем ОДУ в MATLAB реализованы различные численные методы. Их реализации названы решателями ОДУ.

В этом разделе обобщенное название solver (решатель) означает один из возможных численных методов решения ОДУ: ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb, bvp4c или pdepe.

Решатели реализуют следующие методы решения систем ДУ:

Ode45 одношаговые явные методы Рунге-Кутта 4-го и 5-го порядков в модификации Дорманда и Принца. Это классический метод, рекомендуемый для начальной пробы решения. Во многих случаях он дает хорошие результаты, если система решаемых уравнений нежесткая.

Ode23 одношаговые явные методы Рунге-Кутта 2-го и 4-го порядков в модификации Богацки и Шампина. При умеренной жесткости системы ОДУ и низких требованиях к точности этот метод может дать выигрыш в скорости решения.

Ode113 многошаговый метод Адамса-Башворта-Мултона переменного порядка класса предиктор-корректор. Это адаптивный метод, который может обеспечить высокую точность решения.

Ode15s многошаговый метод переменного порядка (от 1 до 5, по умолчанию 5), использующий формулы численного «дифференцирования назад». Это адаптивный метод, его стоит применять, если решатель ode45 не обеспечивает решения и система ДУ жесткая.

Ode23s одношаговый метод, использующий модифицированную формулу Розенброка 2-го порядка. Может обеспечить высокую скорость вычислений при низкой точности решения жесткой системы ДУ.

Ode23t неявный метод трапеций с интерполяцией. Этот метод дает хорошие результаты при решении задач, описывающих колебательные системы с почти гармоническим выходным сигналом. При умеренно жестких системах ДУ может дать высокую точность решения.

Ode23tb неявный метод Рунге Кутта в начале решения и метод, использующий формулы «дифференцирования назад» 2-го порядка в последующем. Несмотря на сравнительно низкую точность, этот метод может оказаться более эффективным, чем ode15s.

Bvp4c служит для проблемы граничных значений систем ДУ вида y ′ = f (t , y ), F (y (a ), y (b ), p ) = 0 (полная форма системы уравнений Коши). Решаемые им задачи называют двухточечными краевыми задачами, поскольку решение ищется при задании граничных условий как в начале, так и в конце интервала решения.

Все решатели могут решать системы уравнений явного вида y ′ = F (t , y ), причем для решения жестких систем уравнений рекомендуется использовать только специальные решатели ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb.

Использование решателей систем ОДУ

tspan вектор, определяющий интервал интегрирования [t 0 t final ]. Для получения решений в конкретные моменты времени t 0 , t 1 , …, t final (расположенные в порядке уменьшения или увеличения) нужно использовать tspan = [ t 0 t 1 … t final ];

y 0 вектор начальных условий;

Options аргумент, создаваемый функцией odeset (еще одна функция odeget или bvpget (только для bvp4c) позволяет вывести параметры, установленные по умолчанию или с помощью функции odeset/bvpset);

p 1, p 2,… произвольные параметры, передаваемые в функцию F ;

T , Y матрица решений Y , где каждая строка соответствует времени, возвращенном в векторе-столбце T .

Перейдем к описанию синтаксиса функций для решения систем ДУ (под именем solver подразумевается любая из представленных выше функций).

[T ,Y ]=solver(@F ,tspan ,y 0) интегрирует систему ДУ вида y ′ = F (t , y ) на интервале tspan с начальными условиями y 0 . @F дескриптор ОДУ-функции (можно также задавать функцию в виде "F "). Каждая строка в массиве решений Y соответствует значению времени, возвращаемому в векторе-столбце T .

[T ,Y ]=solver(@F ,tspan ,y 0 ,options) дает решение, подобное описанному выше, но с параметрами, определяемыми значениями аргумента options, созданного функцией odeset. Обычно используемые параметры включают допустимое значение относительной погрешности RelTol (по умолчанию 1e3) и вектор допустимых значений абсолютной погрешности AbsTol (все компоненты по умолчанию равны 1e6).

[T ,Y ]=solver(@F ,tspan ,y 0 ,options,p 1 ,p 2 …) дает решение, подобное описанному выше, передавая дополнительные параметры p 1 , p 2 , … в m -файл F всякий раз, когда он вызывается. Используйте options=, если никакие параметры не задаются.

Решение ОДУ первого порядка

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

· титульный лист;

· исходные данные варианта;

· решение задачи;

· результаты решения задачи.

Пример

Найти решение дифференциального уравнения на отрезке , для которого у (1,7) = 5,3.

Создаем в Command Window функция пользователя

g=@(x,y);

В синтаксисе функции @(x,y) x независимая переменная, y зависимая переменная, x -cos(y /pi ) правая часть ДУ.

Процесс решения осуществляется обращением в Command Window к решателю (солверу) следующим оператором:

Ode23(g,,);

Построение графика с сеткой осуществляется следующими операторами:

Результат представлен на рис. 1.1

Рис. 1.2.1. Визуализация численного решения

ЗАДАНИЕ

1. Найдите решения ДУ первого порядка , удовлетворяющего начальным условиям у(х 0 ) = у 0 на промежутке [a , b ].

2. Построить графики функции.

Варианты заданий .

№ варианта		у(х 0 )=у 0	[a , b ]
		y 0 (1,8)=2,6
		y 0 (0,6)=0,8
		y 0 (2,1)=2,5
		y 0 (0,5)=0,6
		y 0 (1,4)=2,2
		y 0 (1,7)=5,3
		y 0 (1,4)=2,5
		y 0 (1,6)=4,6
		y 0 (1,8)=2,6
		y 0 (1,7)=5,3
		y 0 (0,4)=0,8
		y 0 (1,2)=1,4

Лабораторная работа № 2

Решение систем ОДУ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов представления о применении систем ДУ в различных областях; привить умения решать задачу Коши для систем ДУ.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

· титульный лист;

· исходные данные варианта;

· решение задачи;

· результаты решения задачи.

Пример

Решить систему

с использованием решателя ode23().

Решение:

1. Создать в редакторе m-файл функции вычисления правых частей ДУ.

Пусть имя в редакторе файла sisdu.m, тогда функция может иметь следующий вид:

function z=sisdu(t,y)

z1=-3*y(2)+cos(t)-exp(t);

z2=4*y(2)-cos(t)+2*exp(t);

>> t0=0;tf=5;y0=[-3/17,4/17];

>> =ode23("sisdu",,y0);

>> plot(t,y)

Рис. 1.3.1. Визуализация численного решения, полученного с помощью функции ode23.

1. Что значит решить задачу Коши для системы ДУ?

2. Какие существуют методы решения систем ДУ?

ЗАДАНИЕ

1. Найдите решение системы ДУ

удовлетворяющее начальным условиям на промежутке ;

2. Построить графики функций.

Для примера приводится функция решения 8-го варианта:

function z=ssisdu(t,y)

% вариант 8

z1=-a*y(1)+a*y(2);

z2=a*y(1)-(a-m)*y(2)+2*m*y(3);

z3=a*y(2)-(a-m)*y(3)+3*m*y(4);

z4=a*y(3)-3*m*y(4);

>> =ode23("ssisdu",,);

>> plot(t,100*y)

Рис. 1.3.2. Визуализация численного решения, полученного с помощью функции ode23.

Варианты заданий .

№ варианта	Задания
a	m
	0,1	1,2
	0,2	1,5
	0,3	1,7
	0,4	1,9
	0,5
	0,6	1,9
	0,7	2,3
	0,8	2,7
	0,9
	0,1	1,5
	0,2	1,1
	0,3

Лабораторная работа № 3

1.4Решение ОДУ n -го порядка

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов представления о применении ДУ высших порядков в различных областях; привить умения решать задачу Коши для ДУ высших порядков с помощью прикладных программ; развить навыки проверки полученных результатов.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

· титульный лист;

· исходные данные варианта;

· решение задачи;

· результаты решения задачи.

Пример 1.

Решить ДУ второго порядка при данных начальных условиях .

Решение:

Сначала приведем ДУ к системе:

1. Создать m-файл функции вычисления правых частей ДУ.

Пусть имя файла sisdu_3.m, тогда функция может иметь следующий вид:

function z=sisdu_3(x,y)

z2=6*x*exp(x)+2*y(2)+y(1);

2. Выполнить следующие действия:

>> x0=0;xf=10;y0=;

>> =ode23("sisdu_3",,y0);

>> plot(x,y(:,1))

Рис. 1.4.1. Визуализация численного решения, полученного с помощью функции ode23.

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ

1. Что значит решить задачу Коши для ДУ высших порядков?

2. Как привести ДУ m -го порядка к системе ДУ?

ЗАДАНИЕ

1. Найдите решение ДУ, удовлетворяющее начальным условиям на промежутке .

2. Построить графики функций.

Варианты заданий .

№ варианта	Задания
Уравнения	Начальные условия

Лабораторная работа № 4 – 5

Динамические системы (ДС)

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Знакомство студентов с основными понятиями ДС, их классификация, фазовое пространство ДС, кинематическая интерпретация системы ДУ, эволюция ДС. Уравнение движения маятника. Динамика осциллятора Ван дер Поля.

2. Динамическая система (ДС) математический объект, соответствующий реальным системам (физическим, химическим, биологическим и др.), эволюция которых однозначно определяется начальным состоянием. ДС определяется системой уравнений (дифференциальных, разностных, интегральных и т.д.), допускающих существование на бесконечном интервале времени единственность решения для каждого начального условия.

Состояние ДС описывают набором переменных, выбираемых из соображений естественности их интерпретации, простоты описания, симметрии и т.п. Множество состояний ДС образует фазовое пространство, каждому состоянию отвечает точка в нём, а эволюция изображается (фазовыми) траекториями. Чтобы определить близость состояний, в фазовом пространстве ДС вводят понятие расстояния. Совокупность состояний в фиксированный момент времени характеризуется фазовым объёмом.

Описание ДС в смысле задания закона эволюции также допускает большое разнообразие: оно осуществляется с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей ДС.

Математическая модель ДС считается заданной, если введены динамические переменные (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во времени.

В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели. Исследование реальных систем идет по пути изучения соответствующих математических моделей, совершенствование и развитие которых определяется анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же ДС (к примеру, движение маятника), в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели.

Совершать полные вращения

Предположим, что мы хотим с точностью до 0.001 найти наименьшее значение начальной скорости, которая требуется, чтобы заставить маятник, начинающий движение из своего исходного положения, выполнить полное вращение один раз. Будет полезно показать решения, которые соответствуют нескольким различным начальным скоростям на одном графике.

Сначала мы рассмотрим целые значения скорости в промежутке от 5 до 10.

>> for а = 5:10

Ode45(g, , );

plot(xa(:, 1), xa(:, 2))

>> hold off

Начальные скорости 5, 6 и 7 не являются достаточно большими (рис. 4), чтобы увеличить угол более π, но начальные скорости 8, 9 и 10 достаточны, чтобы заставить маятник совершать полный оборот. Посмотрим, что происходит на промежутке между 7 и 8.

Второй шаг

>> for а = 7.0:0.2:8.0

plot(xa(:, 1), xa(:, 2))

>> hold off

Можно заметить (рис. 6), что ответ находится где-то между 7.2 и 7.4. Давайте выполним еще одно уточнение.

Третий шаг

>> for а = 7.2:0.05:7.4

Ode45(g, , );

plot(xa(:, 1), ха(:, 2))

Следует сделать вывод, что наименьшая необходимая скорость с точностью 0,01 находится где-то между 7.25 и 7.3 (рис. 7 и 8).

Четвертый шаг

for a = 7.25:0.01:7.3

Ode45(g, , );

plot(xa(:, 1), xa(:, 2))

Для более точного анализа увеличим область графика, где происходит смена режима колебания.

Видно, что наименьшая необходимая скорость находится где-то между 7.29 и 7.3.

Следует продолжить нахождение более точного значения скорости смены режима колебания.

Динамика осциллятора Ван дер Поля при w 2 = 2 и c = 1

Предельный цикл – устойчивый режим периодических колебаний в нелинейных системах после завершения переходных процессов

Файл-функция, для этих параметров, имеет следующий вид (см. Андреев 2013, с. 117):

function dydt = vdp1(t,y)

dydt = zeros(2,1); dydt(1) = y(2);

dydt(2) = 1*(1-y(1).^2).*y(2)-2*y(1);

При начальном положении на предельном цикле (х0 = 2, v0= 0) вызов файл-функции имеет следующий вид:

Ode23(@vdp1,,);

Следующий оператор дает возможность получить зависимость х и v от времени

plot(t,y(:,1),t,y(:,2)), grid on

Результат показан на рис. 1.

Следующий оператор дает возможность получить фазовый портрет системы (рис. 2):

plot(y(:,1),y(:,2)), grid on

Если взять начальные данные вне цикла (х 0 = -0.5, v 0 = 5) вызов файл-функции имеет следующий вид:

Ode23(@vdp1,,[-0.5;5]);

Результат показан на рис. 3.

Фазовый портрет показан на рис. 4.

Если взять начальные данные внутри цикла (х 0 = -0.05, v 0 = -0.05) вызов файл-функции имеет следующий вид:

Ode23(@vdp1,,[-0.05; -0.05]);

Результат показан на рис. 5.

Фазовый портрет показан на рис. 6.

Лабораторная работа № 6 – 7

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Рассмотрим линейную однородную систему с постоянными коэффициентами:

Система (1) имеет единственное нулевое положение равновесия, если определитель матрицы системы:

Заметим, что a + d = tr A (след матрицы) и ad bc = det A .

Классификация точек покоя в случае, когда det A ≠ 0, приведена в таблице:

Устойчивость точек покоя

Собственные значения матрицы системы (1) однозначно определяют характер устойчивости положений равновесия:

Фазовые портреты

Бесконечное множество точек покоя

Если det A = 0, то система (1) имеет бесконечное множество положений равновесия. При этом возможны три случая:

Во втором случае любая точка покоя устойчива по Ляпунову. В первом же случае только, если l 2 < 0.

Направление на фазовой кривой указывает направление движения фазовой точки по кривой при возрастании t.

Правила определения типа точки покоя

Можно определить тип точки покоя и характер ее устойчивости, не находя собственных значений матрицы системы (1), а зная только ее след tr A и определитель det A .

Бифуркационная диаграмма

Алгоритм построения фазового портрета ЛДС (1)

1.Определить положения равновесия, решив систему уравнений:

2. Найти собственные значения матрицы системы, решив характеристическое уравнение:

3. Определить тип точки покоя и сделать вывод об устойчивости.

4. Найти уравнения главных изоклин горизонтальной и вертикальной, и построить их на фазовой плоскости.

5. седлом или узлом, найти те фазовые траектории, которые лежат на прямых, проходящих через начало координат.

6. Нарисовать фазовые траектории.

7. Определить направление движения по фазовым траекториям, указав его стрелками на фазовом портрете.

Главные изоклины

Заметим, что точка покоя на фазовой плоскости это пересечение главных изоклин. Вертикальную изоклину на фазовой плоскости будем помечать вертикальными штрихами, а горизонтальную горизонтальными.

Фазовые траектории

Если положение равновесия является седлом или узлом , то существуют фазовые траектории, которые лежат на прямых, проходящих через начало координат.

Уравнения таких прямых можно искать в виде y = kx . Подставляя y = k x в уравнение:

для определения k получим:

(4)

(Уравнения прямых, содержащих фазовые траектории, можно искать и в виде x = ky . Тогда для нахождения коэффициентов следует решить уравнение

Дадим описание фазовых траекторий в зависимости от количества и кратности корней уравнения (4).

Фазовые траектории

* Если уравнения прямых ищутся в виде x = ky , тогда это будут прямые x = k 1 y и y = 0.

Если положение равновесия является центром , то фазовые траектории являются эллипсами.

Если положение равновесия является фокусом , то фазовые траектории являются спиралями.

В случае, когда ЛДС имеет прямую точек покоя , то можно найти уравнения всех фазовых траекторий, решив уравнение:

Его первый интеграл ax + by = C и определяет семейство фазовых прямых.

Направление движения

Если положение равновесия является узлом или фокусом , то направление движения по фазовым траекториям определяется однозначно его устойчивостью (к началу координат) или неустойчивостью (от начала координат).

Правда, в случае фокуса требуется установить еще и направление закручивания (раскручивания), спирали по часовой или против часовой стрелки. Это можно сделать, например, так. Определить знак производной y ’(t ) в точках оси x .

Если положение равновесия является центром , то направление движения по фазовым траекториям (по часовой стрелке или против) можно определить так же, как устанавливается направление «закручивания (раскручивания)» траектории в случае фокуса.

Следовательно, если положение равновесия седло , то достаточно установить направление движения по какой-нибудь траектории. И далее можно однозначно установить направление движения по всем остальным траекториям.

Направление движения (седло)

Чтобы установить направление движения по фазовым траекториям в случае седла , можно воспользоваться одним из следующих способов:

1 способ

Определить, какая из двух сепаратрис соответствует отрицательному собственному значению. Движение по ней происходит к точке покоя.

2 способ

Определить, как изменяется абсцисса движущейся точки по любой из сепаратрис. Например, для y = k 1 x имеем:

Если x (t ) → 0 при t → +∞, то движение по сепаратрисе y = k 1 x происходит к точке покоя.

Если x (t ) → ±∞ при t →+∞, то движение происходит от точки покоя.

3 способ

Если ось x не является сепаратрисой, определить как изменяется ордината движущейся точки по фазовой траектории при пересечении оси x .

Когда если x > 0,то ордината точки возрастает и, значит, движение по фазовым траекториям, пересекающим положительную часть оси x , происходит снизу вверх. Если же ордината убывает, то движение будет происходить сверху вниз.

Если определять направление движение по фазовой траектории, пересекающей ось y , то лучше анализировать изменение абсциссы движущейся точки.

4 способ

Пример 1.

1. Система имеет единственное нулевое положение равновесия, так как

det A = 6 ≠ 0.

2. Построив соответствующее характеристическое уравнение l 2 6 = 0, найдем его корни l 1,2 = ± Ö6. Корни вещественные и разного знака. Следовательно, положение равновесия седло .

3. Сепаратрисы седла ищем в виде y = kx .

4. Вертикальная изоклина: x + y = 0.

Горизонтальная изоклина: x 2y = 0.

Пример 2.

A = 10 ≠ 0.

2. Построив соответствующее характеристическое уравнение l 2 7l + 10 = 0,

найдем его корни l 1 = 2, l 2 = 5. Следовательно, положение равновесия неустойчивый узел .

3. Прямые: y = kx .

4. Вертикальная изоклина: 2x + y = 0.

Горизонтальная изоклина: x + 3y = 0.

Пример 3.

1. Система имеет единственное нулевое положение равновесия, так как det A = 18 ≠ 0.

2. Построив соответствующее характеристическое уравнение l 2 + 3l + 18 = 0,

найдем его дискриминант D = 63. Так как D < 0, то корни уравнения комплексные, причем Re l 1,2 = 3/2. Следовательно, положение равновесия устойчивый фокус .

3. Вертикальная изоклина: x + 4y = 0.

Горизонтальная изоклина: 2x y = 0.

Фазовые траектории являются спиралями, движение по которым происходит к началу координат. Направления «закручивания траекторий» можно определить следующим образом.

Пример 4.

1. Система имеет единственное нулевое положение равновесия, так как det A = 3 ≠ 0.

2. Построив соответствующее характеристическое уравнение l 2 +3 = 0, найдем его корни l 1,2 = ±i Ö3. Следовательно, положение равновесия центр .

3. Вертикальная изоклина: x 4y = 0.

Горизонтальная изоклина: x y = 0.

Фазовые траектории системы эллипсы.

Направление движения по ним можно установить, например, так.

Пример 5 (вырожденный узел)

1. Система имеет единственное нулевое положение равновесия, так как det A = 4 ¹ 0.

2. Построив соответствующее характеристическое уравнение l 2 + 4l + 4 = 0, найдем его корни l 1 = l 2 = 2. Следовательно, положение равновесия неустойчивый вырожденный узел .

4. Вертикальная изоклина: 2x + y = 0.

Горизонтальная изоклина: x + 3y = 0.

Пример 6.

Так как определитель матрицы системы det A = 0, то система имеет бесконечно много положений равновесия. Все они лежат на прямой y = 2x.

Построив соответствующее характеристическое уравнение l 2 + 5l = 0,

найдем его корни l 1 =0, l 2 =5. Следовательно, все положения равновесия устойчивы по Ляпунову.

Построим уравнения остальных фазовых траекторий:

Таким образом, фазовые траектории лежат на прямых

Пример 7.

Дифференциальные уравнения второго порядка и высших порядков.
Линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.
Примеры решений.

Переходим к рассмотрению дифференциальных уравнений второго порядка и дифференциальных уравнений высших порядков. Если Вы смутно представляете, что такое дифференциальное уравнение (или вообще не понимаете, что это такое), то рекомендую начать с урока Дифференциальные уравнения первого порядка. Примеры решений . Многие принципы решения и базовые понятия диффуров первого порядка автоматически распространяются и на дифференциальные уравнения высших порядков, поэтому очень важно сначала разобраться с уравнениями первого порядка .

У многих читателей может быть предубеждение, что ДУ 2-го, 3-го и др. порядков – что-то очень трудное и недоступное для освоения. Это не так. Научиться решать диффуры высшего порядка вряд ли сложнее, чем «обычные» ДУ 1-го порядка . А местами – даже проще, поскольку в решениях активно используется материал школьной программы.

Наиболее популярны дифференциальные уравнения второго порядка . В дифференциальное уравнение второго порядка обязательно входит вторая производная и не входят

Следует отметить, что некоторые из малышей (и даже все сразу) могут отсутствовать в уравнении, важно, чтобы дома был отец . Самое примитивное дифференциальное уравнение второго порядка выглядит так:

Дифференциальные уравнения третьего порядка в практических заданиях встречаются значительно реже, по моим субъективным наблюдениям в Государственную Думу они бы набрали примерно 3-4% голосов.

В дифференциальное уравнение третьего порядка обязательно входит третья производная и не входят производные более высоких порядков:

Самое простое дифференциальное уравнение третьего порядка выглядит так: – папаша дома, все дети на прогулке.

Аналогичным образом можно определить дифференциальные уравнения 4-го, 5-го и более высоких порядков. В практических задачах такие ДУ проскакивают крайне редко, тем не менее, я постараюсь привести соответствующие примеры.

Дифференциальные уравнения высших порядков, которые предлагаются в практических задачах, можно разделить на две основные группы.

1) Первая группа – так называемые уравнения, допускающие понижение порядка . Налетайте!

2) Вторая группа – линейные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами . Которые мы начнем рассматривать прямо сейчас.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами

В теории и практике различают два типа таких уравнений – однородное уравнение и неоднородное уравнение .

Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид:
, где и – константы (числа), а в правой части – строго ноль.

Как видите, особых сложностей с однородными уравнениями нет, главное, правильно решить квадратное уравнение .

Иногда встречаются нестандартные однородные уравнения, например уравнение в виде , где при второй производной есть некоторая константа , отличная от единицы (и, естественно, отличная от нуля). Алгоритм решения ничуть не меняется, следует невозмутимо составить характеристическое уравнение и найти его корни. Если характеристическое уравнение будет иметь два различных действительных корня, например: , то общее решение запишется по обычной схеме: .

В ряде случаев из-за опечатки в условии могут получиться «нехорошие» корни, что-нибудь вроде . Что делать, ответ придется записать так:

С «плохими» сопряженными комплексными корнями наподобие тоже никаких проблем, общее решение:

То есть, общее решение в любом случае существует . Потому что любое квадратное уравнение имеет два корня.

В заключительном параграфе, как я и обещал, коротко рассмотрим:

Линейные однородные уравнения высших порядков

Всё очень и очень похоже.

Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет следующий вид:
, где – константы.
Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение, как многие догадались, выглядит так:
, и оно в любом случае имеет ровно три корня.

Пусть, например, все корни действительны и различны: , тогда общее решение запишется следующим образом:

Если один корень действительный , а два других – сопряженные комплексные , то общее решение записываем так:

Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Рассмотрим простейшие однородное ДУ 3-го порядка с одиноким папашей: . Характеристическое уравнение имеет три совпавших нулевых корня . Общее решение записываем так:

Если характеристическое уравнение имеет, например, три кратных корня , то общее решение, соответственно, такое:

Пример 9

Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка

Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:

, – получен один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.

Ответ: общее решение

Аналогично можно рассмотреть линейное однородное уравнение четвертого порядка с постоянными коэффициентами: , где – константы.